Operationsverständnis

Bei der Unterrichtsplanung sollten die folgenden drei Aspekte miteinbezogen werden: Grundvorstellungen entwickeln, Darstellungen vernetzen und Beziehungen und Strukturen nutzen. Alle Operationen haben unterschiedliche Grundvorstellungen.[1]

Addition

Es werden drei Grundvorstellungen der Addition unterschieden: Das «Hinzufügen», das «Zusammenfassen» und das «Vergleichen».

Hinzufügen

Das «Hinzufügen» ist eine alltagsnahe Vorstellung: Es werden einer Menge von Objekten eine weitere Menge hinzugefügt (dynamisch).

Beispiel: Jule hat 3 € gespart. Zwei weitere Euro bekommt sie geschenkt. Wie viele Euro hat sie jetzt?

Zusammenfassen

Beim «Zusammenfassen» werden zwei Mengen zusammengelegt.

Beispiel: Melli hat 3 €. Paul hat 2 €. Wie viele Euro haben sie zusammen?

Vergleichen

Beim «Vergleichen» werden zwei Mengen durch Addition miteinander verglichen.

Beispiel: Ephraim hat 3 €. Joe hat 2 € mehr als er. Wie viele Euro hat Joe?[2]

Subtraktion

Es werden drei zentrale Grundvorstellungen unterschieden: Das «Abziehen», das «Ergänzen» und das «Vergleichen». «Abziehen» ist eine alltagsnahe Vorstellung und es bedeutet, dass von einer Gesamtmenge Objekte weggenommen werden, sodass ein Rest übrigbleibt. Beim «Ergänzen» wird der Unterschied zwischen einer Ausgangsmenge und einer Endmenge dynamisch bestimmt und beim «Vergleichen» wird der Unterschied von zwei Teilmengen statisch bestimmt.[3]

Multiplikation

Es gibt drei zentrale Grundvorstellungen: Das «Wiederholen», das «Zusammenfassen» und das «Vergleichen».

Wiederholen

Beim «Wiederholen» werden Tätigkeiten mit dem gleichen Umfang wiederholt ausgeführt, sie geschehen zeitlich-sukzessiv.

Beispiel: Anna holt alle ihre Bücher. Dafür geht sie dreimal in ihr Zimmer. Jedes Mal trägt sie vier Bücher. Wie viele Bücher holt sie insgesamt?

Zusammenfassen

Beim «Zusammenfassen» werden Anzahlen gleicher Grösse gruppiert und deren Gesamtzahl ermittelt (räumlich-simultan). Räumlich-simultane Aufgaben können im rechteckigen Punktefeld anschaulich dargestellt werden.

Beispiel: In einer Getränkekiste sind drei Reihen mit jeweils vier Flaschen. Wie viele Flaschen sind es insgesamt?

Vergleichen

Beim «Vergleichen» werden zwischen Anzahlen oder Grössen multiplikative Vergleiche hergestellt.

Beispiel: Jan hat vier Kastanien gesammelt. Maren hat dreimal so viele Kastanien gesammelt. Wie viele Kastanien hat Maren?[4]

Division

Es werden zwei zentrale Grundvorstellungen unterschieden und zwar das «Verteilen» und das «Aufteilen».

Aufteilen

Beim «Aufteilen» sind die Gesamtmenge und die Gruppengrösse gegeben, während die Anzahl der Teilmengen gesucht ist.

Beispiel: Timo hat zwölf Bausteine. Er möchte Dreiertürme bauen. Wie viele Türme kann er bauen?

Verteilen

Beim «Verteilen» sind die Gesamtmenge und die Anzahl der Teilmengen gegeben und gesucht ist die Gruppengrösse.

Beispiel: Auf dem Tisch liegen 12 Bonbons, die Martina an drei Kinder verteilt. Wie viele Bonbons bekommt jedes Kind?

Die Grundvorstellungen der Division sind eng mit der Multiplikation – als deren Umkehrung – verbunden. So kann beispielsweise die Situation, die das Aufteilen der Steine anspricht, multiplikativ gedeutet werden: Alena hat vier Türme mit je drei Steinen gebaut. Vier mal drei Steine sind zwölf Steine. Eine Divisions- und deren dazugehörige Multiplikationsaufgabe setzt sich aus einem Zahlentripel zusammen. 12 : 3 = 4 und 4 ∙ 3 = 12. Somit beinhalten die Aufgaben des kleinen Einsdurcheins die Umkehraufgaben des Einmaleins.[5]

Bedeutung für den Unterricht

Der Fokus liegt darauf, die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zu verstehen und diese mit Bedeutungen zu verknüpfen. Eine wichtige Voraussetzung für ein tragfähiges Operationsverständnis sind solche Grundvorstellungen. Das bedeutet, dass Kinder über mentale Bilder zu den vier Operationen verfügen. Schüler:innen sollten die Rechenoperationen in unterschiedlichen Situationen erfahren.

Von grosser Bedeutung ist die Fähigkeit zum Darstellungswechsel. Wenn Schüler:innen über Grundvorstellungen zu Rechenoperationen verfügen, sind sie fähig, zwischen verschiedenen Darstellungen flexibel zu wechseln. Es ist wichtig, dass Schüler:innen unterschiedliche Darstellungsformen, wie Material, Bild, Sprache und Mathesprache kennenlernen.[6]

Zu einem tragfähigen Operationsverständnis gehört, dass Kinder Beziehungen zwischen einzelnen Aufgaben und Zusammenhänge zwischen Rechenoperationen erkennen und nutzen können. Beziehungen zwischen Aufgaben bedeutet, dass die Schüler:innen Rechengesetze flexibel anwenden können.[7]